전자기학 Ch09-A-1 안테나 전파공식 : Maxwell Equation → in-homogeneous Helmholtz Equation (Vector Magnetic Potential, A)

1. Introduction

여태 우리는 맥스웰 방정식에서 Source(특히 Current Source. J)가 없는 Homogeneous 상황을 다뤘고(아래식 참조). 해당 상황의 해중 가장 간단한 해인 Plane Wave 를 구했다. 

하지만 이제는 우리는 Current Source로 등가회로화 할 수 있는 Antenna를 추가하여  HelmHoltz방정식을 풀 것이다.

 

2. 결말 미리보기

(1) 안테나에 가까운 주변의 장은 Near-Field라고 한다. 해당 지점에는 Intrinsic Impedance 또한 적용되지않는다. 해당 지점에서는 전자기장이 묶여있어서 Sinsoidal로 On/Off를 반복한다. 그래서 Loss가 없는 Ideal Inductor로 보인다.

(2) 안테나에서 한 파장 이상만(정확한 값은 아님) 멀어져도 Far-Field라고 불린다. 해당 지점에는 Intrinsic Impedance이 적용되기 시작하는 지점이다. 해당 지점에서는 전자기장이 방사하고(방사는 곧 Circuit의 에너지 손실로 이어지므로) 그는 등가 저항으로 나타낼 수 있다.

(3) 안테나에게 중요한것은 Far-field이고 이는 사람이 계산할 수 있다. 하지만 Near-field는 CAD의 도움이 필요하다.

(4) 안테나 Near Field를 그나마 정확하게 계산하기위해선 3D에 대한 복잡한 적분수식(Radiation Integral)을 풀어야한다. 하지만 그것은 매우 어려우므로 Vector Magnetic Potential 의 도움이 필요하다.

참조 안테나공학 [2] (tistory.com)

그러면 J(source)를 통해서 A를 계산하고 E와 H를 손쉽게 계산할 수 있다.

(5) 전위(Voltage)와 Vector Magnetic Potential는 사실 이미 전자기학 초반에 배운 적이 있다.

정전계

우리는 전기장을 계산할 때, 전자기장이라는 벡터를 전위라는 스칼라로 바꾸면서 계산의 편의성을 얻곤 했다.

이를 정자계에서도 비슷하게 정의된다.(하지만 안타깝게도 자기장에서 A는 스칼라가아닌 벡터이다.)

정자계

 

3. Vector Magnetic Potential 정의

(1) Voltage 및 Vector Magnetic Potential 의 정의 (DC:정자계, AC)

(2) Vector Magnetic Potential에 적용되는 이론

 - Vector Operation

 - Gauss's Law

Ulaby

 - Lorentz Condition

: A-vector에 대해서 in-homogeneous Helmholtz Equation을 풀다보면 아래와 같은 식이 정리된다.

이 때 ▽(~)에 대한식을 0으로 없애는 A를 정의한다.(이때 적용되는 이론이  Lorentz Condition 이다.)

Lorentz Condition

 

vector A의 Curl 및 Diveregence 정의

Curl

Div

 

 

4. In-homogeneous Helmholtz Equation

(1) 간략한 유도과정

위 식의 7.2a에 아래의 전위 AC 정의를 넣고

식 7.2d에 (7.2c는 vector A의 정의에 사용된다.) 아래의 vector A의 AC 정의를 넣는다.

그리고 식을 전개한다. ( Vector Operation, Lorentz Condition 적용)

마찬가지로 Voltage에대한 Helmholtz 방정식도 유도된다.

 

4. E & H Field 구하기

(1) vector A와 E field 사이 관계

(2) vector A와 H field 사이 관계

 

결론

 

추후의 내용은 "Antenna Engineering"이라는 카테고리에서 다루자

Reference

Stutzman - Antenna Thoery and Design

Chapter 2.1~2.2

 

안테나공학 [2] (tistory.com)

안테나공학 [2]