전자장 Ch12.1 General Microwave Amplifier _ Matching, Power, Gain (+Gonzalez Amplifier 교재)

주의사항) 아직 해당 글은 이해가 미숙하니, 틀린 내용이 있을 수 있다.

내용

1. 착각하기 쉬운 것들

(1) Ideal Wire ≠ Transmission Line

: Ideal Wire는 길이가 0이고 특성저항이 정의되지 않는 선이다.

: 소자들의 양단에 걸리는 전압이 동일한 위상이 아닐수 있기때문에(왜냐하면 전류가 흐르는게 아니라 전자기파가 quasi_TEM Mode로 흐르는 것이기 때문이다.), Small signal Model을 적용하기 매우 까다롭다.

: 하지만 SnP file혹은 Zin (@ target frequency)를 측정해서 TLIN까지 모두 EM으로 대체한 schematic을 그렸다면, small signal model을 적용할 수 있다.

: 아날로그회로(저주파회로) Small signal model에 의하면 gmRout에의해 gain을 늘릴 수 있지만, RF 회로에서는 이를 적용하기가 어려워서 그냥 증폭은 트랜지스터 자체로 해주고(gm||ro) 우리는 ΓL에 의해서 신호가 손실되지 않도록 하는것이 목적인 것이다.

 

(2) Γin, ΓL, Γs, Γout의 차이점

위 회로에서 Γs와 ΓL은 실존하지만, Γin과 Γout은 실존하지않는다.(total 반사신호를 고려한 가상의 반사계수이다.)

 

(3) Simulation상의 S11(=Γin) ≠ Network자체의 S11 (Chapter 4.1에서다룸)

 

2. What to controll vs. What are given

(1) 상수

: 당연히 TLINE은 50옴으로 고정이다(System의 TLINE 특성저항도 50옴으로한다)

: Transistor의 S-parameter는 PDK로서 주어진다.(S11,S22는 0이 아니다.)

 

(2) 종속변수

: Γin, Γout은 각각 ΓL, Γs에대한 종속변수이다.

만약 S12=0(isolation)이 된다면 아래의 식이 만족될것이다.(혹은 Zs=Z0, ZL=Z0이어도 동일하게 만족한다)(Ch 4.1참조)

(3) 독립변수

: 우리가 컨트롤 해야하는것은 ΓL, Γs 이렇게 2개밖에 없는것이다.

다시말해서 Input Matching Circuit, OUtput Matching Circuit(Network)만 우리가 바꿔주면되는 것이다.

이제 이런 독립 변수들을 어떻게 해야 우리의 목표를 얻을 수 있을까

3. Power의 종류(우리의 목표)

(참고:전자장 Ch02.3 Average Power to Load 공식 유도하기* (tistory.com))

주로 RF회로에서는 전력으로 계산한다.(dBm dB scale)그러므로 이득도 전력이득을 기반으로한다. 전력의 종류를 알아보고 그다음 전력이득의 종류를 알아보자

(690) Lecture08: Microwave Amplifier Design Introduction - YouTube

(1) Average Input Power(feat. 전압분배법칙)

V1을 우선 아래와 같이 전압분배법칙을 통해서 구할 수 있을 것이다.(그리고 반사계수에대한 식으로도 표현이 된다.)

(참고:전자장 Ch02.4 Zs가 있을때, V+구하는 공식 (tistory.com))

 

그리고 밑줄친부분을 연립해서 아래의 Zin을 대입하면

아래와 같이 Network의 입력으로 들어가는 전압을 구할 수있다

그리고 아래와같이 Network에 입력으로 들어가는 평균전력을 계산할 수 있다.(직접해보니, 유도 되지만 조금복잡하다)

※ 주의사항

아래의 식은 틀린식임을 명심하자

틀린식

 

결론적으로 Transsistor의 입력전력은 아래와 같다

 

 

혹은

(이유: Incident Wave Power을 알면 Power을 손쉽게 계산할 수있다.)

이때, P_avs는 Source가 만들어내는 전력양이 아니라 Source에의해서 실제로 Input으로 전달되는 Power의 양이라는 것을 주목하자.

(2) Average Output Power

포트2로 나가는 신호는 V2- 신호이다. 그러므로 공식을 이용해서 아래와 같이 할 수있고

위식에 V2- 대신 (12.2b)와 (12.4를) 대입하면

아래와 같이 유도된다

위식에서 1-S22ΓL이 아니라 1-ΓoutΓL인듯?

 

(3) Maximum Input Power

(4) Maximum Output Power

위식에 아래를 대입하자

최종결과는 아래와 같다.

 

 

정리

※ 참고로 average Power의 분모에 8이 있는이유는 rms에의한 것과 matched load에의한 것 2가지가 있다.

 

 

4. Gain의 종류

우선 상식적으로 생각해 볼 수 있는것이, InputMatching(사실상 Gate에 Matching)과 OutputMatching(사실상 Drain에 Matching)을 해주면 최대 전력이 출력될 것이다.(S21은 고정이니까) 그러면 최대 Gain이 나올 것이라고 예상해볼 수 있다.

(1) Power Gain : Γin에 무관

(2) Available Power Gain : Γout에 무관( ≠ MAG)

(3) Transducer Power Gain : Γin, Γout에 dependent (우리의 목표)

참고로, 미리 말하자면 이 이득이 가장 중요한 이득이다.

 i) Γin version

위식에서 Γin은 아래와 같다.

유도 방법은 하단의 그림에서 Mason's Rule을 적용하거나, 직접 등비급수로 계산해보면 된다.

ii) Γout version

위식에서 Γin은 아래와 같다.

마찬가지로 하단의 그림에서 Γout을 유도할 수 있다.

 iii) Original Version

처음부터 복잡한 System에서 Mason's Rule을 적용하여 계산한 공식이다.

출처 : Clock Grid Simulation using Transient S-parameter Modeling - Yong-Bin Kim,; Naram Park

 

(3-1) Unilateral Transducer Power Gain : (3)의 연장

만약 S12=0(isolation)이라면 Γin=S11이고 Γout=S22이다. 그것을 이용해서 단방향회로(Unilateral Circuit)의 Transducer Power Gain을 구할 수 있다.

이때, Unilateral Transducer Power Gain은 3개의 Gain으로 나눠서 볼 수 있다.

그리고 우리는 주로 Unilateral회로를 설계한다.(설계하기 쉽고 대부분 unconditionally stable하기 때문이다.)

 

(4) Maximum Transducer Power Gain (= Maximum Available Gain = MAG ) : (3)의 연장

"MAG : Conjugate이며 동시에 Lossless한 Matching section을 추가했을때의 이득"

 i) 유도과정

우선 source/intput conjugate matching이라도 위식에서 적용하였다. 이제 load/output conjugate matching을 대입하려는데

그런데 이때 S22와 Γout은 서로 다른 값이므로 ΓL가 뭔가 보기 좋게 상쇄가 되지 않는다. 이를 어쩌나!!!!

그러므로 우선 Conjugate Matching이 되었을때의 반사계수를 우선 다음과 같이 정의하자!!

그러면 최종적으로 아래와 같이 MAG가 정의된다!

MAG, Maximum Transducer Gain, Maximum Available Gain

ii) 특징 

simultaneous conjugate matching이 이뤄지면 아래의 성질이 만족한다. 

이때 마지막 3번째 변의 특징을 따서 Maximum Available Gain(=MAG)라고 부른다.

 

iii) K-factor version의 MAG 공식

유도과정이 길어서 이 글에 담을 수는 없지만

즉, 입출력 매칭을 모두했을때의 Transducer Gain(=MAG)는 다음과 같이 K-factor로 나타낼 수 있다.

(증명은 Gonzalez Appendix에 있다.)

 Vi) Conjugate Matching을 위한 최적의 반사계수 Γ_MS, Γ_ML의 공식

해당 지점은 Gain Available Circle과 Gain Power Circle의 중심에 대응하는 듯 하다(검증필요)

(4-1) Maximum Unilateral Transducer Power Gain (=Unilateral Maximum Available Gain (Unilateral MAG )) ...(4)의 연장 

※ Virtuoso의 Maximum Unilateral Power Gain은 이 공식을 활용한다.

Unilateral한 소자(S12=0)의 Tranducer gain은 단식의 2번째 변과 같다. 이때 Input/Source와 Output/Load사이 Conjugate Matching을 동시에 진행하면 이또한 MAG라고 부란다. 그런데 Virtuoso와 같은 툴에서는 Gumx라고 부르는 듯하다.(쓰지말자....) 그리고 (4)번에서 MAG의 식처럼 이또한 K-factor에의한 식으로 적을 수 있다.

마지막 등호는 틀렸다.

이때 위 식의 2번째 변의 곱해지는 일부분을 G_Smax, G_Lmax라고 부른다.

 

다시 한 번, 앞선 내용들을 정리하면 Unilateral MAG는 입출력 매칭을 모두했을때의 Unilateral Transducer Gain을 의미한다.

그리고 우측 등식에대한 유도는 아래에서 찾아볼 수 있다.

Gonzalez - Microwave Transistor Amplifier 교재 참조 > Appendix F 

 

 

(5) Maximum Stable Gain(MSG)

이 녀석은 소자 자체의 특성( Figure of Merit)이다. MAG*에서 K=1을 넣어서 정의한다. 이보다 큰 이득을 얻으면 해당 회로는 발진할 수 있다.!!! 

*(5)번 식에서 k=1을 대입하면 쉽게 구할 수 있다.

 

Stability에대한 자세한 것은 챕터12의 소단원 Stability에서 다루도록 하자.

 

 

참조 논문 : (최초) [1] J. Rollett, "Stability and Power - Gain Invariants of Linear Twoports," IRE Transactions on Circuit Theory, vol. 9, no. 1, pp. 29-32, 1962, doi: 10.1109/tct.1962.1086854.

(6) Mason's Unilateral Power Gain ... Maximum Unilateralized Power Gain이라고 부를 수 있을 것같다.(S. Gupta)

Amp 설계 : Mason's Invariant (U) , 메이슨의 불변식 (tistory.com)

Amp 설계 : Mason's Invariant (U) , 메이슨의 불변식

 

(7) Singhakowinta's Gain(=Gmax 혹은 Maximum Achievable Gain이라고 부른다.)

 

 

5. 정리

AMPLIFIER 설계시 변수들의 상관관계_230601_181613.pdf

2.34MB

6. Power Gain 들의 용도

2023 kiees 구현철 교수님 단기강좌

 

가장유의미한 Gain은 Transducer Gain이다. 이는 |S21|^2으로 측정되기도한다.

 

전자장 Ch12.1 General Microwave Amplifier _ Matching, Power, Gain (+Gonzalez Amplifier 교재) (tistory.com)

전자장 Ch12.1 General Microwave Amplifier _ Matching, Power, Gain (+Gonzalez Amplifier 교재)

 

 

 

 

-----------------------------------------------------------------    광 고    -----------------------------------------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

참조 : section_11_1_Two_Port_Power_Gains_package.pdf (ku.edu)