2.2 Effects of Nonlinearity

내용

1. Harmonic Distortion

: Fundamental 성분이 Harmonic성분에의해서 변하는 것을 의미한다.

 

(1) Non-linear, Memoryless, Time-Invariant System의 근사화

위 식을 근사화 해보자. 아래와 같이 될것이다.(2.25 식)

위 식에서 α_1은 전자회로1에서 배우는 small signal gain에 해당한다. 그리고 이는 linear 성분에 해당한다.

만약 x(t)가 매우 작거나 α_2와 α_3가 매우작다면 α_1성분만 남기 때문에 linear 시스템이라고 할 수 있다.

 

 

 

(2) Major 성분 for Harmonic Distortion

결론부터 미리 말하자면 α_3이라는 3차항 성분이 Harmonic Distortion의 주된 원인이 된다.

그리고 α_2라는 2차항 성분은 계산해보면 실제로 그다지 Harmonic Distortion보단 Fundamental 성분에 영향을 줌을 알 수 있다.

 

※ Fundamental 성분 vs Harmonic 성분

위 용어를 모른다면 아래의 링크를 참고하자

*선수과목 : 전자기학 > 전자장 > TE01 mode 라는 개념

Harmonic 성분 이란? Fundamental 성분 이란? (tistory.com)

Harmonic 성분 이란? Fundamental 성분 이란?

 

(3) Harmonic Distortion 수식적 설명

 - 위 식에서 coswt라는 Fundamental 성분의 계수에 영향을 미친것은 α_3이라는 3차성분임을 알 수 있다. 즉, 결론적으로 3차항이 Harmonic Distortion의 주된 원인임을 알 수 있다.

 

(4) 짝수 계수 비선형 성분이 DC-offset을 만든다

식 2.28을 보면 짝수계수 성분인 α_2가 상수항(DC성분)에 들어있음을 알 수 있다.

이를 통해서 2nd harmonic성분이 DC offset에 영향을 준다는 것을 알 수 있다.

 

(5) 수식 2.28을 통해서 알 수 있는 규칙성

규칙_1 : 짝수 계수 비선형성분은 짝수 계수 비선형 성분으로 부터 나온다. 

 ※ 참고)

만약 System이 완전히 Differential  구조라면 Odd Symmetry를 갖고 짝수 harmonic 성분들은 사라진다.

(다만 대부분 완전한 Differrential이 되기위해선 완전한 대칭구조를 가져야하는데(ex. Differential Amp) 그게 현실에서는 어려우므로 Odd Symmetry는 현실에서 대부분 불가능하다. 그래서 대부분 짝수, 홀수 Harmonic 성분이 공존한다.)

규칙_2 : 2차 3차 고조파 성분은 어느정도 A^2과 A^3에 각각 비례한다.

 

 

 

위는 Prof. Razavi.B의 교재 RF Microelectronics에서 따온 예제이다.

sol _ (a)

출력은 다음과 같이 결정될 것이다.

이때 삼각함수 곱의공식을 활요하였다

삼각함수 곱의공식

sol _ (b)

만약 x_2(t)의 3차 고조파 성분이있다면 식2.28의 3차 고조파와 동일한 계수일 것이다. 그를 적용하면 아래의 식 2.31과 같을 것이다.

#Intermodulation

 

GSM 휴대폰이 900-MHz성분을 쓴다고 가정해보자 그러면 당연히 1800-MHz 성분(2차고조파성분)도 존재할 것이다. 이는 다른 GSM 휴대폰 사용자가 사용중일것이라고 예상할 수 있다. 그렇지만 앞선 GSM 휴대폰 사용자의 정보가 2차고조파 성분을 사용하는 GSM휴대폰 사용자에게 전달되면 안되므로 상당히 2차 고조파 성분의 파워가 낮게 설계되어야할 것이다.

물론 3차, 4차 고조파 성분또한 존재한다. 하지만 크기가 매우 미비하고 어차피 잘 사용하지도 않는 주파수일 것이 뻔하다.

 

심지어 6차고조파는 대략 5-GHz이므로 이는 WLANs(=Wireless Local Area Networks)와 동일한 주파수이다.이는 노트북(랩탑)에 주로 사용된다고 한다.

 

 

2. Gain Compression

(1) 서론

앞서 봤던 아래의 식을 참고하자

이때 x(t) = Acoswt라는 입력에대해 Fundamental 성분에 대한 Gain은 다음과 같다.

이 값은 A가 증가함에따라서 증가할까 감소할까?

그것은 α_1와 α_3의 부호에 따라서 달라질 것이다

α_1와 α_3의 부호가 같은경우와 다른경우를 나눠서 보자

 

(2) α_1와 α_3의 부호가 같은 경우 : Expansive 특성을 가짐

우선 설명에 앞서 가정을 좀 해보자.

※ 가정 : 식 2.28에서 α_2는 충분히 작아서 2nd harmonic 성분은 무시가 가능

위 그래프에서 x축은 A를 의미하며(x의 진폭) y축은 출력의 Fundamental 성분에대한 진폭을 의미한다.

입력이 진폭이 증가함에 따라 출력의 진폭이 끊임업이 증가하는것을 볼 수 있다. 이것을 Expansive Behavior이라고한다.

 

예시) BJT in FWD Active Mode

y가 x에대한 exponential 그래프이고 exponential 은 Taylor 급수상 모든 계수(α)가 양수임을 고려하면 충분히 납득할 수 있을 것이다.

(3) α_1와 α_3의 부호가 다른 경우 : Compressive 특성을 가짐

위 그래프에서 x축은 A를 의미하며(x의 진폭) y축은 출력의 Fundamental 성분에 대한 진폭을 의미한다.

입력이 진폭이 증가함에 따라 출력의 진폭이 어느 수준에서 감소하는것을 볼 수 있다. 이것을 Compressive Behavior이라고한다.

 

예시) Differential Pair Amplifier

 

 

 ※ 대부분의 RF 회로는 Compressiv한 특성을 갖는다.

 

(4) 1-dB Compression Point

: 이득의 10%가 감소하는 지점을 1-dB Compression Point라고 한다.(즉 Gain이 -1dB인 지점이다!!)

 (전제 : Compressive 특성을 갖는 시스템)

 

정량적으로 왜 위와같이 정의 되는지 좀 더 자세히 설명해보겠다.

위와 같은 Compressive(α_1와 α_3의 부호가 반대)한 시스템이 있다고 하자

시스템의 이득은 위의 K와 같이 표현할 수 있고 양변을 dB scale로 변환했을대 시스템의 이득이 20logK와같이 변환됨을 알 수 있다. 이때 20logK = -1이라는 뜻은 이득이 1dB 감소했음을 의미한다.

 

※ 1-dB Compression Point의 특징

: 전력 이득 ,전압(peak) 이득 모두에 정의가능하다

: 종류

 - Output 1-dB Compression Point : Traceiver(Tx)에 주로 사용

 - Input   1-dB Compression Point : Receiver(Rx)에 주로 사용

: A_1dB대신 P_1dB를 쓰기도한다.

: 단위 dBm을 주로 사용한다(자세한 사례는 아래를 참고하자)

What is P1dB? - everything RF

What is P1dB? - everything RF

: RF회로 전반으로 자주 활용되는 개념이다.

 

(5) 1-dB Compression Point 공식(3차 고조파 까지만 고려한 상황)

식 2.28로 부터 1-dB Compression Point를 구해보자!

이때 x(t) = Acoswt라는 입력에 대한 Fundamental 성분에 대한 Gain은 다음과 같다.

이 식에서 20log 를 씌웠을때 20log|α_1|보다 1dB작은 값가질때의 A값을 찾아야한다. 그를 위해서 아래와 같이 식을 쓸 수 있다.

그러면 식 2.34와 같은 공식을 얻을 수 있다.

 

참고로, 식 2.33과 식 2.34사이에 생략된 계산과정은 아래와 같다.

※ 통상적인 1-dB Compression Point

MOSFET기준(?) 대부분의 시스템은 (수식2.34을 기준으로) -25~-20 dBm의 A_1dB를 갖는다.

(이는 A= 35.6m~63.2m Vpp에 해당한다.)

 

(6) Gain Compression에서 1-dB Compression Point의 중요성

Gain이 10% 감소하는것이 중요할까? 고작 10%감소한게 그렇게 큰일인가? 이것에 대한 설명은 좀 길다

 

: Ain(입력의 진폭)이 증가함에따라서 Aout(출력의 진폭)이 증가해야하는데 어느순간 부터(1-dB Compression Point 부터)(낮은 Gain때문에)증가하지 않는다. 그런데 문제는 Ain이 커지면서 노이즈도 커진다는 것이다. 그래서 Ain이 크다고 무조건 좋지않다. 그래서 Compression Point는 3dB가 아닌 1dB로 잡는것이다.(내추측)

 

(7) Interferer(원하지 않던 주파수성분)으로 부터 Desensitization

 

나중에 정리20230209

 

 

 

3. Cross Modulation

(1)

 

(2)

 

(3)

4. Intermodulation

(1)

 

(2)

 

(3)

 

 

5. Cascaded Nonlinear Stages

(1)

 

(2)

 

(3)

 

 

6. AM/PM Conversion

(1)

 

(2)

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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