제어공학Ch06 : (Design) Root Locus(Loci)_01 : Open Loop Pole과 Zero

학습 목표

1. 제어공학의 핵심은 다음과 같다.

Modeling > Analysis > Design

이번에 배우는 내용은 처음으로 Design에 대해서 다룰 것이다.

우리는 이제 K(Gain)이라는 상수를 어떻게 설정해야 CL System Cotroller의 안전성, SteadyState Error 등등의 관점에서 유리한지 알아볼 것이다.

2. Root Locus(Loci.복수형) : (K에 따라 달라지는) Pole의 자취 그리기

 용어정리)

Open Loop Gain(OL Gain)은 G(s)H(s)를 의미한다.

Closed Loop (System Controller)Gain은 G(s)/[1+G(s)H(s)]를 의미한다.

3. 이번 내용에서는 Closed Loop Controller System에 대해서 다룰 것이다.

 

내용

1. Closed Loop System Gain의 Pole vs G(s)H(s)(=Open Loop Gain)의 Pole

(1) CL System Gain의 Pole

CL System의 Gain은 다음과 같다.

식1. CL System Gain

그리고 챕터 5에서 배웠듯이 Gain의 pole들의 위치가 System의 Stability, Oscilation 등을 정하는 것을 알 수 있다.

 

 

(2) G(s)H(s)(=OL Gain)의 Pole

 - 그러므로 pole들을 결저짔는 R(s)가 가장 중요하므로 이를 delta s로 다시 정의내려서 다음과 같이 정리해보자

식2-1. delta s 혹은 R(s)

 - 이때 G1과 H1은 계수가 1인 분수식(Rational Function)이다. 즉, K라는 계수를 통해서 모든 계수를 앞으로 끄집어 낸 것이다. 이를 좀 더 자세히 적으면 아래와 같다.

 

식2-2

이때 (-p1)~ (-pn)이 바로 G(s)H(s)의 Pole들이다.

*참고로 K는 negative feedback(부조화 시스템)에서는 양수이다.

 

2. Root Locus(RL, Root Loci) 란?

(1) Root Locus란?

여기서 우리는 궁금증이 들었다. 만약 식2-1에서 K라는 계수가 바뀌어버리면 System Gain Pole의 위치는 어떻게 될까?

K가 바뀐다. -> CL System Gain Pole이 바뀐다. 그러면 K값이 변함에 따라서 Pole들의 위치를 S-plane 상에서 표현할 수 있지 않을까?????

위 방정식의 해가 CL System Gain의 pole들의 위치를 나타내는 Root Locus인 것이다.

 

즉 변하는 K에 따른 위 방정식의 자취를 Design하는데 좋지 않을까하는 것이 우리의 학습 목표이다.(Chapter5내용을 참고하자면 Stability등등을 판별하는데 좋지 않을까하는 것이다.)

 

이런 흐미 세상에 망할 것 ! 이것이 바로 Root Locus(RL, Root Loci)이다.!!!!

 

그런데 이걸 과연 어떻게 그려야할까?

이를 위해서 우선 Root Locus를 그릴때 K, OL Gain's pole의 특징에 대해서 좀 알아볼 필요가 있다.

 

(2) Root Locus(=K에 따른 System Gain의 Pole의 자취)와 G(s)H(s)의 Pole의 관계

 

결론부터 이야기하면  G(s)H(s)의 Pole을 알면 근궤적(Root Locus)를 그릴 수 있다.

그리고 당연하게도 CL System Gain의 Pole이 결국에는 G(s)H(s) (= KG1(s)H1(s))에 의해서 정해질 것이다. 

아래에서 자세히 설명하겠지만 아마 " G(s)H(s)의 Pole들을 알면 K에 따라 변하는 CL System Gain의 Pole의 자취(RL)를 알 수 있지 않을까?"라는 생각을 했다고한다.

 

(3) Root Locus 원리 1: |K|가 점점 커짐에따라 CL System Gain의 Poles는 Poles에서 Zeros로 이동한다.

 

원리를 간단하게나마 설명하자면 다음과 같다.

변형된 delta s 식

 

위식을 살펴보자

만약 |K|=0이면 (위의 항등식을 만족시키기 위해서) G1H1의 s는 G1H1의 pole 위치에 있을 것이고, |K|=infinite라면 G1H1의 s는 G1H1의 Zero일 것이다. (그래야 0=0, infinite=infinite를 만족시키기 때문이다.)

즉 |K|가 0에서 점점 inifinite로 커질때 s의 자취는 Pole에서 Zero로 이동함을 알 수 있따.

 

 

(4) Root Locus 원리 2 : Open Loop의 각도조건과 크기조건

변형된 delta s 식

 - 위의 식을 복소수의 크기와 각도 관점에서 바라보자. 당연히 아래와 같이 '크기조건'과 '각도 조건'으로 나뉠것이다. (K는 실수이므로 각도는 (180도*자연수)에 해당한다.)

 - 우선 당연히 G1H1의 크기는 |-1/K|에 해당될 것이고

 - 각도는 -1/K가 양수(K<0)냐 음수(K>0)냐에 따라 각각 180도 혹은 0도가 될 것이다. 이를 식으로 적으면 아래와 같다.

크기조건

각도조건1(만약 -1/K가 음수라면)

각도조건2(만약 -1/K가 양수라면)

 - (그리고 아래에 대한 자세한 설명은 나도 몰라서 잘 못하겠는데) G(s)H(s) 크기와 각도를 구하는 식은 다음과 같다고 한다..

각도조건공식과 크기조건공식(근궤도상 특정 지점(Test Point)에서 만족시켜야하는 공식)

 

각도조건공식, 크기조건공식에 대한 그림설명

*G(s)H(s)의 각도는 원점(O)에서 σ축에서 부터의 각도를 의미한다.

*프사이는 zero에서의 각도 쎄타는 pole에서의 각도이다.

*A1~A4는 각각의 pole에서의 거리, B1은 zero에서의 거리이다.

 

 

우선 여기까지만 하고 자세한 RL(근궤적)그리기는 다음 내용으로 다루자